Matrices rectangulaires inversibles ? - Corrigé

Énoncé

Les deux questions sont indépendantes.

1. Donner deux matrices  \(A\) et  \(B\) telles que :

• \(A\)  possède deux lignes et trois colonnes ;
  
• \(B\)  possède trois lignes et deux colonnes ;
  
• \(AB=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\) .

2. Peut-on trouver deux matrices  \(A\) et  \(B\) telles que :

• \(A\)  possède deux lignes et trois colonnes ;
  
• \(B\)  possède trois lignes et deux colonnes ;
  
• \(BA=I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)  ?

Justifier la réponse.

Solution

1. On peut par exemple choisir  \(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}\) .

2. Posons  \(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}\)  et  \(B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{pmatrix}\)

Le produit  \(BA=\begin{pmatrix}b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}&b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}&b_{11}a_{13}+b_{12}a_{23}\\b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}&b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}&b_{21}a_{13}+b_{22}a_{23}\\b_{31}a_{11}+b_{32}a_{21}&b_{31}a_{12}+b_{32}a_{22}&b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23}\end{pmatrix}\)

On va raisonner « par blocs ».

Posons  \(A_1=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)  et  \(B_1=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\) .
Pour que  \(BA=I_3\) , il faut donc  \(B_1A_1=\begin{pmatrix}b_{11}a_{11}+b_{12}a_{21}&b_{11}a_{12}+b_{12}a_{22}\\b_{21}a_{11}+b_{22}a_{21}&b_{21}a_{12}+b_{22}a_{22}\end{pmatrix}=I_2\)  
donc  \(A_1\)  inversible et  \(A_1^{-1}=B_1\) .

Posons aussi  \(A_2=\begin{pmatrix}a_{13}\\a_{23}\end{pmatrix}\)  et  \(B_2=\begin{pmatrix}b_{31}&b_{32}\end{pmatrix}\) .
Pour que  \(BA=I_3\) , il faut que  \(B_2A_1=\begin{pmatrix}b_{31}a_{11}+b_{32}a_{21}&b_{31}a_{12}+b_{32}a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}\) , donc comme  \(A_1\)  est inversible, il faut que  \(B_2=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}\) .

De même, pour que  \(BA=I_3\) , il faut que  \(B_1A_2=\begin{pmatrix}b_{11}a_{13}+b_{12}a_{23}\\b_{21}a_{13}+b_{22}a_{23}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) ,
donc, comme  \(B_1\)  est inversible, il faut que  \(A_2=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\) .

Or, pour finir, pour que  \(BA=I_3\) , il faut que  \(B_2A_2=(b_{31}a_{13}+b_{32}a_{23})=(1)\) , ce qui est impossible car  \(B_2A_2=\begin{pmatrix}0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=(0)\) .

Il est donc impossible de trouver deux matrices qui satisfont les conditions demandées.

Cet exercice illustre l'impossibilité de définir une notion d'inversibilité pour les matrices rectangulaires.